集合
範囲のはっきりしたものの集まりを集合という。 集合は普通、ラテン大文字で表される。 幾何学的表現を用いて、集合を空間、その元を点と呼ぶこともある。
元
が1つの集合であるとき、 に含まれる個々のものを の元（元素、要素とも）という。 もの が集合 の元であることを、、あるいは で表す。 このことを、 が に属する、 は に含まれる、 は を含むなどという。
の否定は、、または で表す。
と はいずれか一方だけが成り立ち、両方同時に成り立つことや、両方同時に成り立たないことはない。
無限に多くの元を持つ集合を無限集合、有限個の元しか持たない集合を有限集合という。 また固有名詞的に、自然数全体の集合を 、整数全体の集合を 、有利数全体の集合を 、実数全体の集合を で表す。
が集合であるとき、どんなもの を取ってきても であるか であるかは定まっているが、その判定問題が容易に解けるかどうかはまた別問題。
変数と条件
考察の対象となるものを代表的に表す文字を変数という。 変数が表す対象は任意で、数値だけではない。
また、変数を含む文章をその変数についての条件または性質という。 条件 が変数 についての条件であることを明示したいとき、 と表す。 ある具体的なもの を に代入して得られる文章 が正しいとき、 は条件 を満たす、または は性質 をもつ、という。 条件 を満たすようなもの全体は1つの集合を形成する。
記法
一般に、元 より成る集合を以下のように表す。 これを外延的記法という。
ただし、この記法はすべての元を列挙するか、簡単に 部分が推測できるような集合でなければならない。 そこで、ある条件を満たすもの全体の集合、ある性質を満たすもの全体の集合を表現できる、内包的記法を用いる。 条件 を満たすようなもの全体の集合を、次のように表す。
たとえば、 を両端とする の閉区間は 、開区間は である。
空集合
元を全く含まない集合を空集合という。 空集合は 、あるいは外延的記法では と表す。 たとえば、 は空集合。
空集合 は元を含まないから、 である。
相等
集合 は、全く同じ元から成るとき、すなわち以下が成り立つときに等しいという。 これを、 と表す。
同等
2つの文章 が与えられたとき、 とは、 が正しいときに もまた正しいことを示す。 また、 も成り立つとき、 と表せて、 と は（論理的に）同等であるという。
部分集合
集合 において、以下を満たすならば は の部分集合であるといい、 または と表す。 これを、 は に含まれる、 は を含むという。
その否定は、、または と表される。
であるとき、 は の真部分集合であるという。
であるための必要十分条件は、 が成り立つことである。 もし2つの集合が同等であることを証明したければ、両向きに部分集合であることを示す。
が成り立つことも明らか。
空集合と部分集合
空集合 は任意の集合 の部分集合である。
これは、含意を用いて証明できる。 を示すためには、 を示す必要がある。 ここで、 であるから、常に正しい。 したがって、元の式は正しい。