任意に $x\in A\cap B$ を取る。 Definition 4.2.2.1 (共通部分)より、$x\in A$ かつ $x\in B$。

よって、$x\in A$ より、$A\supset A\cap B$ また、$x\in B$ より、$B\supset A\cap B$。$\square$

任意に $x\in A\cap B$ を取る。 Definition 4.2.2.1 (共通部分)より、$x\in A$ かつ $x\in B$。 また、前提より $A\subset C$ から、$x\in C$。 したがって、$A\subset C,B\subset C\to A\cap B\subset C$ が示された。

任意に $x\in A\cap A$ を取る。 Definition 4.2.2.1 (共通部分)より、$x\in A$ かつ $x\in A$、すなわち$x\in A$。 よって ${\forall }_x(x\in A\wedge x\in A\to x\in A)$ を満たすから、$A\cap A\subset A$ が示された。

次に、任意に $x\in A$ を取る。 $A\cap A\supset A$ を示すために、${\forall }_x(x\in A\to x\in A\wedge x\in A)$ を示したい。 ここで、$x\in A\wedge x\in A$ は $x\in A$ であるから、自明に示される。

したがって、Proposition 4.2.2.3 (共通部分の冪等律)は示された。

任意に $x\in A\cap B$ をとる。 Definition 4.2.2.1 (共通部分)より、$x\in A$ かつ $x\in B$。 ${\forall }_x(x\in A\wedge x\in B\to x\in B\wedge x\in A)$ を満たすなら $A\cap B\subset B\cap A$ だが、これは自明。

同様に、任意に $x\in B\cap A$ をとる。 Definition 4.2.2.1 (共通部分)より、$x\in B$ かつ $x\in A$。 ${\forall }_x(x\in B\wedge x\in A\to x\in A\wedge x\in B)$ を満たすなら $B\cap A\subset A\cap B$ だが、これも自明。

したがって、$A\cap B=B\cap A$ は示された。

任意に $x\in (A\cap B)\cap C$ をとる。 Definition 4.2.2.1 (共通部分)より、以下のように変形できる。

$$\begin{array}{rl}x\in (A\cap B)\cap C& \to x\in A\cap B\wedge x\in C\\ & \to x\in A\wedge x\in B\wedge x\in C\\ & \to x\in A\wedge x\in B\cap C\end{array}$$

よって、${\forall }_x(x\in A\cap B\wedge x\in C\to x\in A\wedge x\in B\cap C)$ を満たすから、 $(A\cap B)\cap C\subset A\cap (B\cap C)$ が正しい。

同様に、任意に $x\in A\cap (B\cap C)$ を取ると、$x\in A\cap B\wedge x\in C$ に変形できる。 よって、${\forall }_x(x\in A\wedge x\in B\cap C\to x\in A\cap B\wedge x\in C)$ を満たすから、 $A\cap (B\cap C)\subset (A\cap B)\cap C$ が正しい。

したがって、$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ が示された。