マハラノビス距離

1次元

平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$ を用いて、マハラノビス距離 $d$ は次のように定義される。

$$d=\sqrt{\frac{(\hat{x}-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}}$$

多次元

平均ベクトル $\mathbf{\mu }$、分散共分散行列 $C$ を用いて、$k$ 次元正規分布を $\mathcal{N}(\mathbf{\mu },C)$ とする。 マハラノビス距離 $d$ は次のように定義される。

$$d=\sqrt{(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }{)}^T{C}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu })}$$

ただし、$k(<d)$ 本の $d$ 次元ベクトル ${\mathbf{X}}_i$ の分散共分散行列 $C={\sum }_{i=1}^k(X_i-\mu )(X_i-\mu {)}^T$ は逆行列を持たない。 そこで、行列 $C$ の $k$ 個の固有値 ${\lambda }_i(>0)$ と、対応する固有ベクトル ${\mathbf{u}}_i$ を用いて、近似的に擬似逆行列 $C^{-1}$ を定義する。

$$C^{-1}=\sum _{i=1}^k\frac{{\mathbf{u}}_i{\mathbf{u}}_i^T}{{\lambda }_i}$$