フーリエ変換

時間関数の集合である時間領域を、角周波数 $\omega$ の関数の集合である周波数領域に変換する写像をフーリエ変換と呼ぶ。 信号 $f(t)$ のフーリエ変換 $F(\omega )$ は次のように定義される。

$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}\text{d}t=\mathcal{F}[f(t)]$$

逆に、周波数領域を時間領域に変換する写像をフーリエ逆変換と呼び、次のように定義される。

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{j\omega t}\text{d}\omega ={\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )]$$

両者を合わせてフーリエ変換対と呼ぶ。それを $f(t)\iff F(\omega )$ と書く。

フーリエ変換の存在

フーリエ変換が存在する十分条件は、 $f(t)$ が有限の不連続点を持ち、かつ可積分（${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\text{d}t<\infty$）であること。 ステップ関数や三角関数など、これを満たさない関数についても $e^{-ϵ|t|}$ などの減衰項を掛けた式のフーリエ変換を考えて、$ϵ\to 0^{+}$ の極限を取ると元の関数に「近づける」ことができる。

主要な関数のフーリエ変換対

デルタ関数

任意のなめらかな関数$f(x)$に対して、

$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\text{d}x=f(0)$$

を満たすような$\delta (x)$をデルタ関数という。 デルタ関数は超関数であるが関数ではない。 インパルス信号を表現しており、フーリエ変換すると$1$。

$$\delta (t)\iff 1$$

ボックス関数